Onur.su
Математика квантовой физики.
Часть I.
Функции и производные.
Часть I.
Функции и производные.
Простым и доступным языком описываем математические понятия квантовой физики от самых основ до уравнения Шредингера.
В этой статье речь пойдет о функциях и их производных.
В этой статье речь пойдет о функциях и их производных.
Предисловие.
Главная проблема в понимании квантовой физики заключается в том, что квантовый мир кардинально отличается от нашего макромира. Практически невозможно найти образные сравнения с нашим миром для обьяснения событий квантового.
Единственный язык корректного описания квантового мира - это язык математики. Но этот язык не менее непонятен рядовому читателю , нежели сам квантовый мир.
Получается дурацкая ситуация, когда непонятный мир описывается непонятным языком, что приводит к огромной путанице в понимании квантовых событий в головах людей.
Задачей этой серии статей не является погрузить читателя в глубины высшей математики. Задача вполне проста: напомнить простым и понятным языком значение некоторых базовых понятий математического языка, чтобы он перестал быть набором непонятных значков и давал хотя бы приближенное понимание сути тех физических процессов, которые он описывает.
Сегодня мы поговорим о понятии функции и ее производной.
Начнем с фундаментальной математической базы.
Есть число и есть переменная.
Например число 15 и переменная "х". Число определено, а переменная может принимать разные значения в завиcимости от обстоятельств.
Зависимость того как переменная меняется из-за изменения каких-либо обстоятельств называется в математике функцией.
Функция это просто правило пересчета одного значения в другое.
Например y=x2 это вроде как просто уравнение, но оно содержит в себе функцию y=f(x)=x2
Функцией называется правило пересчета.
В выбраном нами примере переменная "y" изменяется как квадрат от "x".
Если x=1, то y=12=1
Eсли x=2, то y=22=4
Если x=3, то y=32=9
Ну а в обобщеной форме, это правило записывается как y=f(х)=x2
Мы с вами записали это правило алгебраически в виде формулы.
Можно это правило изобразить геометрически в виде графика.
Главная проблема в понимании квантовой физики заключается в том, что квантовый мир кардинально отличается от нашего макромира. Практически невозможно найти образные сравнения с нашим миром для обьяснения событий квантового.
Единственный язык корректного описания квантового мира - это язык математики. Но этот язык не менее непонятен рядовому читателю , нежели сам квантовый мир.
Получается дурацкая ситуация, когда непонятный мир описывается непонятным языком, что приводит к огромной путанице в понимании квантовых событий в головах людей.
Задачей этой серии статей не является погрузить читателя в глубины высшей математики. Задача вполне проста: напомнить простым и понятным языком значение некоторых базовых понятий математического языка, чтобы он перестал быть набором непонятных значков и давал хотя бы приближенное понимание сути тех физических процессов, которые он описывает.
Сегодня мы поговорим о понятии функции и ее производной.
Начнем с фундаментальной математической базы.
Есть число и есть переменная.
Например число 15 и переменная "х". Число определено, а переменная может принимать разные значения в завиcимости от обстоятельств.
Зависимость того как переменная меняется из-за изменения каких-либо обстоятельств называется в математике функцией.
Функция это просто правило пересчета одного значения в другое.
Например y=x2 это вроде как просто уравнение, но оно содержит в себе функцию y=f(x)=x2
Функцией называется правило пересчета.
В выбраном нами примере переменная "y" изменяется как квадрат от "x".
Если x=1, то y=12=1
Eсли x=2, то y=22=4
Если x=3, то y=32=9
Ну а в обобщеной форме, это правило записывается как y=f(х)=x2
Мы с вами записали это правило алгебраически в виде формулы.
Можно это правило изобразить геометрически в виде графика.
Сопоставим каждому значению "х" значение "y" и получим набор точек на плоскости, соединив которые, мы получим параболу, которая является графическим отображением нашей функции.
Говоря о функции, мы говорим об изменении как ключевом факторе. В вышеупомянутом примере мы говорили об изменении параметра "y" в зависимости от изменения параметра "х".
И тем самым мы подходим к другому математическому понятию - производной.
Производная - это скорость изменения функции в конкретной точке.
Придадим нашей абстрактой функции более материальный физический вид. Допустим у нас есть прямолинейно движущееся тело, которое смещается по прямой в пространстве (х) с течением времени (t). И возьмем ту же зависимость пространственного смещения от времени, что мы использовали до этого.
x(t)=t2
В момент начала движения t0 у нас еще равно нулю. Тогда смещение в пространстве в момент начала отсчета тоже равно х0=02=0.
Спустя секунду
t1=1, х1=12=1м
спустя 2 секунды
t2=2, х2=22=4м
спустя 3 секунды
t3=3, х3=32=9м
спустя 4 секунды
t4=4, х4=42=16м
И так далее...
Давайте определим скорость изменения нашей функции. По одной точке определить скорость просто так кажется невозможным. Необходимо найти разницу между скоростью изменения параметра "t" и скоростью изменения параметра "х" и сопоставить их.
Возьмем к примеру точки (t2x2) и (t4x4).
t4-t2=4-2=2
Параметр t изменился на 2с.
х4-х2=16-4=12
Параметр х изменился на 12м.
Такой параметр изменения чего-либо в математике называется "дельта" и обозначается символом $$\Delta$$
Соответственно степень изменения параметра "х" в зависимости от параметра "t" мы можем расчитать разделив одно на другое.
$$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Вот мы и получили скорость изменения:
12/2=6 м/с (мы метры делили на секунды поэтому у нас единицы измерения полученного результата м/с). Т.е. у нас параметр х изменяется на 6м на 1 секунду изменения параметра t.
Но это ведь просто среднее значение скорости изменения функции на выбранном нами отрезке.
Давайте выберем другой отрезок. Например отрезок между точками (t2x2) и (t3x3)
t3-t2=3-2=1
Параметр t изменился на 1с.
х3-х2=9-4=5
Параметр х изменился на 5м.
5/1=5м/с
Мы получили другое значение скорости.
Как же нам приблизиться к точному пониманию скорости изменения нашей функции?
И тем самым мы подходим к другому математическому понятию - производной.
Производная - это скорость изменения функции в конкретной точке.
Придадим нашей абстрактой функции более материальный физический вид. Допустим у нас есть прямолинейно движущееся тело, которое смещается по прямой в пространстве (х) с течением времени (t). И возьмем ту же зависимость пространственного смещения от времени, что мы использовали до этого.
x(t)=t2
В момент начала движения t0 у нас еще равно нулю. Тогда смещение в пространстве в момент начала отсчета тоже равно х0=02=0.
Спустя секунду
t1=1, х1=12=1м
спустя 2 секунды
t2=2, х2=22=4м
спустя 3 секунды
t3=3, х3=32=9м
спустя 4 секунды
t4=4, х4=42=16м
И так далее...
Давайте определим скорость изменения нашей функции. По одной точке определить скорость просто так кажется невозможным. Необходимо найти разницу между скоростью изменения параметра "t" и скоростью изменения параметра "х" и сопоставить их.
Возьмем к примеру точки (t2x2) и (t4x4).
t4-t2=4-2=2
Параметр t изменился на 2с.
х4-х2=16-4=12
Параметр х изменился на 12м.
Такой параметр изменения чего-либо в математике называется "дельта" и обозначается символом $$\Delta$$
Соответственно степень изменения параметра "х" в зависимости от параметра "t" мы можем расчитать разделив одно на другое.
$$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Вот мы и получили скорость изменения:
12/2=6 м/с (мы метры делили на секунды поэтому у нас единицы измерения полученного результата м/с). Т.е. у нас параметр х изменяется на 6м на 1 секунду изменения параметра t.
Но это ведь просто среднее значение скорости изменения функции на выбранном нами отрезке.
Давайте выберем другой отрезок. Например отрезок между точками (t2x2) и (t3x3)
t3-t2=3-2=1
Параметр t изменился на 1с.
х3-х2=9-4=5
Параметр х изменился на 5м.
5/1=5м/с
Мы получили другое значение скорости.
Как же нам приблизиться к точному пониманию скорости изменения нашей функции?
Для точного описания нам нужно знать значение скорости в каждой точке, т.е. максимально сократить временные промежутки. Можно взять t не 1с., а 0,1с. или 0,01с или даже 0,000001с.
Суть в том, что нам нужно взять бесконечно малое изменение параметра "t".
Но что такое бесконечно малое изменение? Числом такое понятие не выразить.
В математике решили записывать такое явление через понятие предела (lim). От латинского слова limes, что в переводе означает "граница" или "предел". Записывается это так:
$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Тут важно понять, что выражение "математический язык" это не просто аллегория. Это реально язык, в котором присутствуют не только числа и простые действия с ними. В нем есть абстрактные понятия и сложные явления, которые уже нельзя выразить простыми численными значениями.
Им присваиваются определенные символьные обозначения, зная которые вы легко сможете понять , что же тут происходит.
Одно из таких обозначений lim (предел). А запись
$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
переводится на наш обычный русский язык как операция деления изменения параметра"х" на изменение параметра "t" при том, что само изменение параметра "t" бесконечно малое и стремящееся к нулю.
Вот эта скорость изменения функции в каждой точке и называется производной функции.
Мы можем и графически ее отобразить.
Суть в том, что нам нужно взять бесконечно малое изменение параметра "t".
Но что такое бесконечно малое изменение? Числом такое понятие не выразить.
В математике решили записывать такое явление через понятие предела (lim). От латинского слова limes, что в переводе означает "граница" или "предел". Записывается это так:
$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Тут важно понять, что выражение "математический язык" это не просто аллегория. Это реально язык, в котором присутствуют не только числа и простые действия с ними. В нем есть абстрактные понятия и сложные явления, которые уже нельзя выразить простыми численными значениями.
Им присваиваются определенные символьные обозначения, зная которые вы легко сможете понять , что же тут происходит.
Одно из таких обозначений lim (предел). А запись
$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
переводится на наш обычный русский язык как операция деления изменения параметра"х" на изменение параметра "t" при том, что само изменение параметра "t" бесконечно малое и стремящееся к нулю.
Вот эта скорость изменения функции в каждой точке и называется производной функции.
Мы можем и графически ее отобразить.
На нашем графике функции x(t)=t2
Производная в каждой точке изображается в виде касательной к нашей полупараболе. Как видите угол наклона (приближения к вертикали) касательных меняется по мере увеличения параметра t.
Итак, у нас есть строгая универсальная запись того что такое производная на математическом языке и выглядит она так:$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Но эта универсальная запись просто определение, что такое производная функции.
Фактически для каждой конкретной функции ее можно рассчитать.
Этот процесс в математике называется дифференцированием (ну любят математики всему давать названия).
Вы легко можете найти готовые результаты (формулы) дифференцирования для различных функций. Но сейчас я хочу, чтобы вы поняли сам принцип как это считается.
Вот наша функция x(t)=t2
И мы не хотим знать среднее значение скорости изменения нашей функции, потому что оно всегда разное в зависимости от того какой отрезок мы берем.
Мы хотим найти значение изменения скорости в каждой точке, хотим найти ту самую производную.
Определение производной через lim (предел) дает нам понимание что это такое, но само по себе не помогает найти значение этой производной для нашей конкретной функции.
Что ж давайте найдем сами.
Берем произвольную точку t1.
Затем берем вторую соседнюю точку t2, отстоящую от первой на некоторое расстояние $$\Delta t$$Значение этой второй точки t2$$t+\Delta t$$Получаем значение функции в точках t1 и t2:$$x(t) = t^2$$$$x(t + \Delta t) = (t + \Delta t)^2$$Теперь найдем изменение нашей функции $$\Delta x = x(t + \Delta t) - x(t)$$Подставляем их значения: $$\Delta x = (t + \Delta t)^2 - t^2$$
И решаем полученное уравнение.
Сначала раскроем наши квадратные скобки:$$\Delta x = t^2 + 2t \cdot \Delta t + \Delta t^2 - t^2$$
Сокращаем t2 и получаем $$\Delta x = 2t \cdot \Delta t + \Delta t^2$$
Теперь делаем то же самое, что мы делали для поиска средней скорости на произвольном отрезке функции, а именно$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{2t \cdot \Delta t + \Delta t^2}{\Delta t} = 2t + \Delta t$$Но это мы получили еще не производную. Мы получили абстрактное значение средней скорости изменения функции на каком-то малом отрезке.
А теперь переходим к производной. Помните как мы ее определили$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$А мы с вами только что уже нашли$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = 2t + \Delta t$$Подставим это значение в предел: $$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t) = 2t$$Поскольку предел нам говорит что дельта t стремится к нулю, то в правой части у нас остается просто 2t.
Вот это и есть производная (мгновенная скорость). По сути это новая функция, говорящая нам какова скорость изменения исходной функции в каждой ее точке.
В дополнение скажу , что математики очень ленивые люди (ну или очень рациональные) и им показалась слишком громоздкой, придуманная ими форма записи предела. Они решили ее сократить и ввели для этого символ d (от латинского deferentia, ,что значит "разность"). И если символ $$\Delta$$ в математическом языке обозначает просто какую-то разность, то символ "d" означает бесконечно малую разность, стремящуюся к нулю. Сделали это чтобы меньше писать и вместо $$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$Можно просто написать$$v(t) = \frac{dx}{dt}$$Эти обе записи абсолютно идентичны друг другу.
Но это еще не все. Мы с вами нашли производную функции x=t2, которая нам показывает скорость изменения координаты х по времени t.
Но мы можем пойти дальше и исследовать то, с какой скоростью изменяется сама скорость во времени.
В физике это называют ускорением, но суть сейчас не в самом ускорении. И не в том зачем вообще это делать. Суть в в том, что мы можем это делать в принципе и важно понять сам процесс, потому что потом мы столкнемся с этим в волновой математике квантовой физики и важно, чтобы там все это не выглядело непонятным набором значков.
Итак, наберитесь мужества и поехали.
У нас есть скорость изменения функции x=t2 (она же производная функции):$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 2t$$
Но сама эта скорость это тоже функция. Это значение скорости , которое меняется по определенному правилу в зависимости от изменения параметра времени t.
А какова скорость изменения уже этой функции?
Надо найти ее производную, т.е. произвести повтроное дифференцирование.
Как я уже писал выше, изменение скорости во времени в физике называется ускорением и обозначается буковой "a". Ускорение - это то, что происходит с вашей скоростью , когда вы вдавливаете педаль газа в пол в машине. Ее скорость меняется и меняется с определенной скоростью в зависимости от мощности машины.
Давайте найдем производную этой функции изменения скорости во времени для каждого момента времени. Итак, производная ускорения (а): $$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$
Мы можем выразить производную скорости через первичные переменные координаты и времени, получив следующую формулу.$$\frac{d^2x}{dt^2}$$
Смысл тут простой. Мы вместо значка скорости $$v$$ подставили в формулу его значение $$\frac{dx}{dt}$$Получили $$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{dx}{dt}\right) =
= \frac{d(dx)}{(dt)^2}$$
Я так расписываю, чтобы вы поняли, что тут не простые действия умножения с простыми переменными, как привыкли мы все в школе.
Нет.
Повторюсь это язык. Его нужно уметь читать и понимать.
Итак, в числителе вы видите d(dx).
Это не умножение.
Вспомните что означает d.
Это укороченная запись предела lim. А сама запись d(dx) обозначает повторное дифференцирование, т.е. мы дифференцируем результат дифференцирования параметра "х".
А чтобы укоротить запись (тем более что дифференцирование можно повторять снова при поиске третьей производной и т.д.) математики пришли к соглашению записывать количество дифференцирований в виде степени к символу d.
Поэтому:$$d(dx) = d^2x$$ означает повторное дифференцирование или правильнее дифференцирование второго порядка.
dх - это мы продифференцировали параметр "х". А d2х означает что мы продифференцировали результат дифференципования параметра "х".
В знаментателе (dt)(dt) также не означает перемножение каких-то отдельных переменных.
dt это цельное понятие - дифференцирование по времени.
Как, например, двухзначное число - это цельное понятие. 152 не означает , что отдельно в квадрат возводится 1 и отдельно 5. Вы возводите в квадрат число 15.
Так и тут два dt в знаментателе обозначает , что дважды было произведено дифференцирование по времени и записывается это в виде dt2
Можем мы пойти и дальше.
Найти функцию изменения ускорения по времени. Ее производная будет$$\frac{da}{dt}$$
И также мы можем переписать эту формулу в первичных переменных координаты и времени методом подстановки:$$\frac{d^3x}{dt^3}$$.
Производная в каждой точке изображается в виде касательной к нашей полупараболе. Как видите угол наклона (приближения к вертикали) касательных меняется по мере увеличения параметра t.
Итак, у нас есть строгая универсальная запись того что такое производная на математическом языке и выглядит она так:$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$
Но эта универсальная запись просто определение, что такое производная функции.
Фактически для каждой конкретной функции ее можно рассчитать.
Этот процесс в математике называется дифференцированием (ну любят математики всему давать названия).
Вы легко можете найти готовые результаты (формулы) дифференцирования для различных функций. Но сейчас я хочу, чтобы вы поняли сам принцип как это считается.
Вот наша функция x(t)=t2
И мы не хотим знать среднее значение скорости изменения нашей функции, потому что оно всегда разное в зависимости от того какой отрезок мы берем.
Мы хотим найти значение изменения скорости в каждой точке, хотим найти ту самую производную.
Определение производной через lim (предел) дает нам понимание что это такое, но само по себе не помогает найти значение этой производной для нашей конкретной функции.
Что ж давайте найдем сами.
Берем произвольную точку t1.
Затем берем вторую соседнюю точку t2, отстоящую от первой на некоторое расстояние $$\Delta t$$Значение этой второй точки t2$$t+\Delta t$$Получаем значение функции в точках t1 и t2:$$x(t) = t^2$$$$x(t + \Delta t) = (t + \Delta t)^2$$Теперь найдем изменение нашей функции $$\Delta x = x(t + \Delta t) - x(t)$$Подставляем их значения: $$\Delta x = (t + \Delta t)^2 - t^2$$
И решаем полученное уравнение.
Сначала раскроем наши квадратные скобки:$$\Delta x = t^2 + 2t \cdot \Delta t + \Delta t^2 - t^2$$
Сокращаем t2 и получаем $$\Delta x = 2t \cdot \Delta t + \Delta t^2$$
Теперь делаем то же самое, что мы делали для поиска средней скорости на произвольном отрезке функции, а именно$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{2t \cdot \Delta t + \Delta t^2}{\Delta t} = 2t + \Delta t$$Но это мы получили еще не производную. Мы получили абстрактное значение средней скорости изменения функции на каком-то малом отрезке.
А теперь переходим к производной. Помните как мы ее определили$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$А мы с вами только что уже нашли$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = 2t + \Delta t$$Подставим это значение в предел: $$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t) = 2t$$Поскольку предел нам говорит что дельта t стремится к нулю, то в правой части у нас остается просто 2t.
Вот это и есть производная (мгновенная скорость). По сути это новая функция, говорящая нам какова скорость изменения исходной функции в каждой ее точке.
В дополнение скажу , что математики очень ленивые люди (ну или очень рациональные) и им показалась слишком громоздкой, придуманная ими форма записи предела. Они решили ее сократить и ввели для этого символ d (от латинского deferentia, ,что значит "разность"). И если символ $$\Delta$$ в математическом языке обозначает просто какую-то разность, то символ "d" означает бесконечно малую разность, стремящуюся к нулю. Сделали это чтобы меньше писать и вместо $$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$Можно просто написать$$v(t) = \frac{dx}{dt}$$Эти обе записи абсолютно идентичны друг другу.
Но это еще не все. Мы с вами нашли производную функции x=t2, которая нам показывает скорость изменения координаты х по времени t.
Но мы можем пойти дальше и исследовать то, с какой скоростью изменяется сама скорость во времени.
В физике это называют ускорением, но суть сейчас не в самом ускорении. И не в том зачем вообще это делать. Суть в в том, что мы можем это делать в принципе и важно понять сам процесс, потому что потом мы столкнемся с этим в волновой математике квантовой физики и важно, чтобы там все это не выглядело непонятным набором значков.
Итак, наберитесь мужества и поехали.
У нас есть скорость изменения функции x=t2 (она же производная функции):$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 2t$$
Но сама эта скорость это тоже функция. Это значение скорости , которое меняется по определенному правилу в зависимости от изменения параметра времени t.
А какова скорость изменения уже этой функции?
Надо найти ее производную, т.е. произвести повтроное дифференцирование.
Как я уже писал выше, изменение скорости во времени в физике называется ускорением и обозначается буковой "a". Ускорение - это то, что происходит с вашей скоростью , когда вы вдавливаете педаль газа в пол в машине. Ее скорость меняется и меняется с определенной скоростью в зависимости от мощности машины.
Давайте найдем производную этой функции изменения скорости во времени для каждого момента времени. Итак, производная ускорения (а): $$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$
Мы можем выразить производную скорости через первичные переменные координаты и времени, получив следующую формулу.$$\frac{d^2x}{dt^2}$$
Смысл тут простой. Мы вместо значка скорости $$v$$ подставили в формулу его значение $$\frac{dx}{dt}$$Получили $$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{dx}{dt}\right) =
= \frac{d(dx)}{(dt)^2}$$
Я так расписываю, чтобы вы поняли, что тут не простые действия умножения с простыми переменными, как привыкли мы все в школе.
Нет.
Повторюсь это язык. Его нужно уметь читать и понимать.
Итак, в числителе вы видите d(dx).
Это не умножение.
Вспомните что означает d.
Это укороченная запись предела lim. А сама запись d(dx) обозначает повторное дифференцирование, т.е. мы дифференцируем результат дифференцирования параметра "х".
А чтобы укоротить запись (тем более что дифференцирование можно повторять снова при поиске третьей производной и т.д.) математики пришли к соглашению записывать количество дифференцирований в виде степени к символу d.
Поэтому:$$d(dx) = d^2x$$ означает повторное дифференцирование или правильнее дифференцирование второго порядка.
dх - это мы продифференцировали параметр "х". А d2х означает что мы продифференцировали результат дифференципования параметра "х".
В знаментателе (dt)(dt) также не означает перемножение каких-то отдельных переменных.
dt это цельное понятие - дифференцирование по времени.
Как, например, двухзначное число - это цельное понятие. 152 не означает , что отдельно в квадрат возводится 1 и отдельно 5. Вы возводите в квадрат число 15.
Так и тут два dt в знаментателе обозначает , что дважды было произведено дифференцирование по времени и записывается это в виде dt2
Можем мы пойти и дальше.
Найти функцию изменения ускорения по времени. Ее производная будет$$\frac{da}{dt}$$
И также мы можем переписать эту формулу в первичных переменных координаты и времени методом подстановки:$$\frac{d^3x}{dt^3}$$.
Наверняка у вас созрел вопрос "а зачем все это?"
Потому что все это будет применяться к квантовым частицам в формулах волновой математики.
Вы наверняка слышали (раз решили прочитать эту статью) про то, что поведение квантовых систем описывается уравнением волновой функции Шредингера.
Так вот взгляните на один из вариантов этого уравнения.
Это уравнение Шредингера для одномерного случая.
Сейчас не стоит задача вникать в суть всего уравнения.
Просто посмотрите на него и увидьте кусочки, значение которых вам уже, надеюсь, понятны.
$$i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + U\Psi$$
В ней присутствует в левой части производная волновой функции по времени
$$\frac{\partial\Psi}{\partial t}$$
А в правой части производная второго порядка по пространству
$$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}$$
Только объектом дифференцирования здесь является не функция зависимости х от t, а волновая функция квантовой системы, у которой есть два аргумента: пространственный и временной. И соответственно там можно получать частные производные по одному из аргументов. Но об этом в другой раз.
О том, что такое волновая функция квантовой системы, чачтные производные которой присутствуют в уравнении, и почему вообще квантовые функции волновые мы поговорим в следующих статьях.
Нам предстоит познакомиться к понятием комплексных чисел, амплитудами и многим другим.
А пока достаточно и того, что для вас понятие функции не пустой звук, равно как и понятия производных.
Начало понимания сути квантовых процессов положено.
Потому что все это будет применяться к квантовым частицам в формулах волновой математики.
Вы наверняка слышали (раз решили прочитать эту статью) про то, что поведение квантовых систем описывается уравнением волновой функции Шредингера.
Так вот взгляните на один из вариантов этого уравнения.
Это уравнение Шредингера для одномерного случая.
Сейчас не стоит задача вникать в суть всего уравнения.
Просто посмотрите на него и увидьте кусочки, значение которых вам уже, надеюсь, понятны.
$$i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + U\Psi$$
В ней присутствует в левой части производная волновой функции по времени
$$\frac{\partial\Psi}{\partial t}$$
А в правой части производная второго порядка по пространству
$$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}$$
Только объектом дифференцирования здесь является не функция зависимости х от t, а волновая функция квантовой системы, у которой есть два аргумента: пространственный и временной. И соответственно там можно получать частные производные по одному из аргументов. Но об этом в другой раз.
О том, что такое волновая функция квантовой системы, чачтные производные которой присутствуют в уравнении, и почему вообще квантовые функции волновые мы поговорим в следующих статьях.
Нам предстоит познакомиться к понятием комплексных чисел, амплитудами и многим другим.
А пока достаточно и того, что для вас понятие функции не пустой звук, равно как и понятия производных.
Начало понимания сути квантовых процессов положено.
