Собравшись написать статью о всеми любимой теме Черных дыр, я отложил ее , потому что невозможно копаться в этой теме, не имя понимания о том, что такое гравитация. И я засел за статью о гравитации. Ее я тоже отложил, поскольку невозможно толком описать интерпретацию гравитации в Общей теории относительности без понимания таких терминов как производная и тензор.

Вернее можно, но это будет ничем не лучше поверностных роликов с youtube или instahram, которые своими объяснениями "на пальцах" дают людям лишь образую поверхностную картинку без хотя бы примерного понимания сути. А как следствие люди , ошибочно убежденные, что они все поняли, создают у себя в голове дикие домыслы и интерпретации, считая свои фантазии научным подходом.

Конечно, после этих статей мы не станем знатоками высшей математики и не научимся решать сложные уравнения. Но если по прочтении в голове сложится хоть сколько-нибудь стройная и последовательная картина из каких предпосылок и в связи с какой логикой сделаны те или иные научные выводы и сформулированы уравнения, то можно считать, что статьи написаны не зря.

Поскольку все цепочки рассуждений строятся на одном языке, нам необходимо научиться хоть чуть-чуть понимать этот язык.

Сегодня мы поговорим о скалярах, векторах , матрицах и тензорах.

Именно они лежат в основе тех текстов, что дают нам современную научную физическую интерпретацию реальности. Не понимая значения этих терминов, невозможно понять и саму суть физической теории в этих терминах изложенной.

Скаляр.

Со скаляром все просто. Это число. Скалярами можно описать ту часть нашей реальности, которая проста, бедна и имеет лишь одно свойство, описываемое числом.

Например температура.

Сейчас в этой точке пространства температура 25С. Это скаляр.

Масса тела 80кг это тоже скаляр.
Есть только некое численное значение, которое исчерпывающим образом и однозначно описывает ситуацию вне зависимости от выбранной системы координат.

Вектор.

Следующее математическое понятие, необходимое нам - это вектор.

Не все явления можно описать просто числом. Например масса массу мяча можно. Допустим 2кг.

А вот скорость движения мяча уже нельзя. У скорости тоже есть числовое значение, например 10м/сек. Но еще есть и обязательное направление. Скорости без направления не бывает.

Масса остается массой и не важно куда она направлена. Скорость же обязательно направленна куда-то. Ведь скорость это коэффициент показывающий то, как быстро изменяются координаты тела с течением времени. Математически это функция зависимости координат от времени. А раз координаты меняются, то и есть направление этой смены от координат одной точки пространства к координатам другой. Без определения направления само понятие скорости теряет свой смысл.

Но как нам записать эту вторую характеристику перемещения в пространстве на языке математики?

Опять же числом, либо несколькими числами.

Допустим у нас еть только одно пространственное измерение - ось Х.

Тогда а нас есть только два возможных направления движения: вдоль оси Х либо в одну, либо в другую сторону. Тогда мы просто присвоив одному направлению знак плюс, а другому минус, можем задать вектор движения одним числом и соответствующим знаком.
- ______________Х______________+

Скорость +5м/сек. будет означать вектор, описывающий движение направо, а - 5м/сек., будет означать вектор, описывающий движение налево.

Вот здесь обратите внимание на важную разницу между скаляром и вектором. И то и другое можно описать одним числом, но между ними принципиальная разница.
Если вы измените систему координат (например поменяете местами + и - в нашей одномерной оси Х) для скаляра это не будет иметь значения. Ведь от имеет просто точечное числовое значение. Температура или масса мяча какими были, такими и останутся.
Но вот для вектора смена системы координат черезвычайно важна. Если мы поменяем местами + и -, то вектор скорости также сменит знак на противоположный. Мяч , летевший вправо со скоростью 5м/сек и описываемый вектором +5, будет также лететь вправо с той же скоростью, но из-за смены системы отсчета будет уже описываться вектором со значением -5.
v=(-5)

Давайте от одномерного пространства перейдем к двухмерному. Получится некая плоскость.
В пространстве плоскости для определения координаты, а равно и направления вектора понадобится уже два числа: по оси Х и по оси Y).

Если наш мяч движется не просто вправо, а вправо и вверх, то вектор скорости уже записывается двумя числами: смещением по оси Х и смещением по оси Y.
v=(4,2)
Горизонтальное смещение 2м/с и вертикальное смещение 4 м/с.

Мы реальное диагональное смещение мяча разложили на компоненты горизонтального и вертикального смещения, которые являются проекциями вектора на соответствующие оси.

Обратите внимание на то, что компоненты жестко привязаны к выбранной нами системе отсчета. Если мы повернем оси, изменим систему координат, то с самим движением мяча ничего не произойдет. Он также будет лететь куда летел. Но его векторное математическое описание изменится и будет собой представлять сумму проекций на новые оси..

Как считается значение векторного параметра(в нашем случае скорости)? По простым школьным геометрическим правилам, а именно теореме Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Взгляните повторно на рисунок выше.
Сам вектор и его проекции на оси формируют прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза и есть вектор.
Соответственно значение вектора мы можем получить несложными математическими операциями.

В нашем случае v²=v_x²+v_y². Ну а собственное скалярное значение скорости мы получим путем извлечения квадратного корня из полученного результата.

Но мы живем не в плоскости а в 3х-мерном пространстве. Соответственно добавляется еще одна ось и проекция на нее при расчете вектора.

Логика вычислений остается той же. Гипотенуза в плоскости x,y является катетом треугольника по оси z, в котором гипотенузой является сам вектор скорости в 3х-мерном пространстве. Дальше считаем квадраты и извлекаем корень.

Можно добавить четвертое измерение. Физически в образах нам это сложно представить поскольку мы существа трехмерные, но математически в этом нет никаких сложностей, принцип расчета вектора тот же.
И не важно какую физическую сущность мы поместим в четвертую ось. Это может быть дополнителтное пространственное измерение или ось времени как в Теории относителтеости Эйнштейна. Главное, что математически у нас есть технология вычислений для любого n-мерного вектора.
Вот тпкая складывается забааная ситуация: то что мы не можем представить, мы можем рассчитать на языке математики.

Матрица.

Итак, ращобравшись с понятием вектора перейдем к следующему понятию - матрице.

Начнем с уже знакомого вектора. Ветор скорости летящего по диоганали вверх мяча.
v=(4,2).
Как вы должны помнить из ранее написанного, вектор скорости мяча представляет собой сочетание двух компонет: компонеты горизонтально смещения по оси х (4м/с) и компонеты вертикального смещения по оси у (2м/с).

А теперь представьте, что нам нужно работать сразу с несколькими векторами. Например у нас уже три летящих мяча, вместо одного.

Первый (4,2)
Второй (1,5)
Третий (2,7)

Мы можем расположить эти числа в таблице
ось х ось y
| 4 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |

Такая таблица значений и есть матрица.

Для нашего случая она будет математически записываться следующим образом:
$$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$

Слева "А" это название матрицы.
Скобуами обозначена сама матрица. Размером матрицы называют количество столбцов и строк в ней. В нашем примере размер матрицы 3×2.

Но зачем вообще нужны матрицы?

Это не просто способ записи, это еще и удобный иеструмент преобразования векторов.

Давайте возьмем простую матрицу - точку "t" с координатами по оси х=2, по оси y=1.

В матричном виде мы можем записать.