Onur.su
Математические матюки.
Скалял, вектор, матрица, тензор. Что это и зачем это?
Собравшись написать статью о всеми любимой теме Черных дыр, я отложил ее , потому что невозможно копаться в этой теме, не имя понимания о том, что такое гравитация. И я засел за статью о гравитации. Ее я тоже отложил, поскольку невозможно толком описать интерпретацию гравитации в Общей теории относительности без понимания таких терминов как производная и тензор.
Вернее можно, но это будет ничем не лучше поверностных роликов с youtube или instahram, которые своими объяснениями "на пальцах" дают людям лишь образую поверхностную картинку без хотя бы примерного понимания сути. А как следствие люди , ошибочно убежденные, что они все поняли, создают у себя в голове дикие домыслы и интерпретации, считая свои фантазии научным подходом.
Конечно, после этих статей мы не станем знатоками высшей математики и не научимся решать сложные уравнения. Но если по прочтении в голове сложится хоть сколько-нибудь стройная и последовательная картина из каких предпосылок и в связи с какой логикой сделаны те или иные научные выводы и сформулированы уравнения, то можно считать, что статьи написаны не зря.
Поскольку все цепочки рассуждений строятся на одном языке, нам необходимо научиться хоть чуть-чуть понимать этот язык.
Сегодня мы поговорим о скалярах, векторах , матрицах и тензорах.
Именно они лежат в основе тех текстов, что дают нам современную научную физическую интерпретацию реальности. Не понимая значения этих терминов, невозможно понять и саму суть физической теории в этих терминах изложенной.
Вернее можно, но это будет ничем не лучше поверностных роликов с youtube или instahram, которые своими объяснениями "на пальцах" дают людям лишь образую поверхностную картинку без хотя бы примерного понимания сути. А как следствие люди , ошибочно убежденные, что они все поняли, создают у себя в голове дикие домыслы и интерпретации, считая свои фантазии научным подходом.
Конечно, после этих статей мы не станем знатоками высшей математики и не научимся решать сложные уравнения. Но если по прочтении в голове сложится хоть сколько-нибудь стройная и последовательная картина из каких предпосылок и в связи с какой логикой сделаны те или иные научные выводы и сформулированы уравнения, то можно считать, что статьи написаны не зря.
Поскольку все цепочки рассуждений строятся на одном языке, нам необходимо научиться хоть чуть-чуть понимать этот язык.
Сегодня мы поговорим о скалярах, векторах , матрицах и тензорах.
Именно они лежат в основе тех текстов, что дают нам современную научную физическую интерпретацию реальности. Не понимая значения этих терминов, невозможно понять и саму суть физической теории в этих терминах изложенной.
Скаляр.
Со скаляром все просто. Это число. Скалярами можно описать ту часть нашей реальности, которая проста, бедна и имеет лишь одно свойство, описываемое числом.
Например температура.
Сейчас в этой точке пространства температура 25С. Это скаляр.
Масса тела 80кг это тоже скаляр.
Есть только некое численное значение, которое исчерпывающим образом и однозначно описывает ситуацию вне зависимости от выбранной системы координат.
Со скаляром все просто. Это число. Скалярами можно описать ту часть нашей реальности, которая проста, бедна и имеет лишь одно свойство, описываемое числом.
Например температура.
Сейчас в этой точке пространства температура 25С. Это скаляр.
Масса тела 80кг это тоже скаляр.
Есть только некое численное значение, которое исчерпывающим образом и однозначно описывает ситуацию вне зависимости от выбранной системы координат.
Вектор.
Следующее математическое понятие, необходимое нам - это вектор.
Не все явления можно описать просто числом. Например, массу мяча можно. Допустим 2кг.
А вот скорость движения мяча уже нельзя. У скорости тоже есть числовое значение, например 10м/с. Но еще есть и обязательное направление. Скорости без направления не бывает.
Масса остается массой и не важно куда она направлена. Скорость же обязательно направленна куда-то. Ведь скорость это коэффициент показывающий то, как быстро изменяются координаты тела с течением времени. Математически это функция зависимости координат от времени.
С понятиями функций и производных вы можете ознакомиться в статье "Математические матюки. Функции и производные".
А раз координаты меняются, то и есть направление этой смены от координат одной точки пространства к координатам другой. Без определения направления само понятие скорости теряет свой смысл.
Но как нам записать эту вторую характеристику перемещения в пространстве на языке математики?
Опять же числом, либо несколькими числами.
Допустим у нас еть только одно пространственное измерение - ось Х.
В этом случае у нас есть только два возможных направления движения: вдоль оси Х либо в одну, либо в другую сторону. Тогда мы, просто присвоив одному направлению знак плюс, а другому - минус, можем задать вектор движения одним числом и соответствующим знаком.
- ______________Х______________+
Скорость +5м/сек. будет означать вектор, описывающий движение направо, а - 5м/сек., будет означать вектор, описывающий движение налево.
Вот здесь обратите внимание на важную разницу между скаляром и вектором. И то и другое можно описать одним числом, но между ними принципиальная разница.
Если вы измените систему координат (например поменяете местами + и - в нашей одномерной оси Х) для скаляра это не будет иметь значения. Ведь от имеет просто точечное числовое значение. Температура или масса мяча какими были, такими и останутся.
Но вот для вектора смена системы координат черезвычайно важна. Если мы поменяем местами + и -, то вектор скорости также сменит знак на противоположный. Мяч , летевший вправо со скоростью 5м/сек и описываемый вектором +5, будет также лететь вправо с той же скоростью, но из-за смены системы отсчета будет уже описываться вектором со значением -5.
v=(-5)
Давайте от одномерного пространства перейдем к двухмерному. Получится некая плоскость.
В пространстве плоскости для определения координаты, а равно и направления вектора понадобится уже два числа: по оси Х и по оси Y).
Следующее математическое понятие, необходимое нам - это вектор.
Не все явления можно описать просто числом. Например, массу мяча можно. Допустим 2кг.
А вот скорость движения мяча уже нельзя. У скорости тоже есть числовое значение, например 10м/с. Но еще есть и обязательное направление. Скорости без направления не бывает.
Масса остается массой и не важно куда она направлена. Скорость же обязательно направленна куда-то. Ведь скорость это коэффициент показывающий то, как быстро изменяются координаты тела с течением времени. Математически это функция зависимости координат от времени.
С понятиями функций и производных вы можете ознакомиться в статье "Математические матюки. Функции и производные".
А раз координаты меняются, то и есть направление этой смены от координат одной точки пространства к координатам другой. Без определения направления само понятие скорости теряет свой смысл.
Но как нам записать эту вторую характеристику перемещения в пространстве на языке математики?
Опять же числом, либо несколькими числами.
Допустим у нас еть только одно пространственное измерение - ось Х.
В этом случае у нас есть только два возможных направления движения: вдоль оси Х либо в одну, либо в другую сторону. Тогда мы, просто присвоив одному направлению знак плюс, а другому - минус, можем задать вектор движения одним числом и соответствующим знаком.
- ______________Х______________+
Скорость +5м/сек. будет означать вектор, описывающий движение направо, а - 5м/сек., будет означать вектор, описывающий движение налево.
Вот здесь обратите внимание на важную разницу между скаляром и вектором. И то и другое можно описать одним числом, но между ними принципиальная разница.
Если вы измените систему координат (например поменяете местами + и - в нашей одномерной оси Х) для скаляра это не будет иметь значения. Ведь от имеет просто точечное числовое значение. Температура или масса мяча какими были, такими и останутся.
Но вот для вектора смена системы координат черезвычайно важна. Если мы поменяем местами + и -, то вектор скорости также сменит знак на противоположный. Мяч , летевший вправо со скоростью 5м/сек и описываемый вектором +5, будет также лететь вправо с той же скоростью, но из-за смены системы отсчета будет уже описываться вектором со значением -5.
v=(-5)
Давайте от одномерного пространства перейдем к двухмерному. Получится некая плоскость.
В пространстве плоскости для определения координаты, а равно и направления вектора понадобится уже два числа: по оси Х и по оси Y).
Если наш мяч движется не просто вправо, а вправо и вверх, то вектор скорости уже записывается двумя числами: смещением по оси Х и смещением по оси Y.
v=(4,2)
Горизонтальное смещение 2м/с и вертикальное смещение 4 м/с.
* Даже если мяч движется строго в право, в пространстве плоскости смещение по оси Y математически остается, просто оно равно 0.
Мы реальное диагональное смещение мяча разложили на компоненты горизонтального и вертикального смещения, которые являются проекциями вектора на соответствующие оси (см. рисунок выше).
Обратите внимание на то, что компоненты жестко привязаны к выбранной нами системе отсчета. Если мы повернем оси, изменим систему координат, то с самим движением мяча ничего не произойдет. Он также будет лететь куда летел. Но его векторное математическое описание изменится и будет собой представлять сумму проекций на новые оси.
v=(4,2)
Горизонтальное смещение 2м/с и вертикальное смещение 4 м/с.
* Даже если мяч движется строго в право, в пространстве плоскости смещение по оси Y математически остается, просто оно равно 0.
Мы реальное диагональное смещение мяча разложили на компоненты горизонтального и вертикального смещения, которые являются проекциями вектора на соответствующие оси (см. рисунок выше).
Обратите внимание на то, что компоненты жестко привязаны к выбранной нами системе отсчета. Если мы повернем оси, изменим систему координат, то с самим движением мяча ничего не произойдет. Он также будет лететь куда летел. Но его векторное математическое описание изменится и будет собой представлять сумму проекций на новые оси.
Как считается значение векторного параметра(в нашем случае скорости)? По простым школьным геометрическим правилам, а именно теореме Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Взгляните повторно на рисунок выше.
Сам вектор и его проекции на оси формируют прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза и есть искомый вектор.
Соответственно значение вектора мы можем получить несложными математическими операциями.
В нашем случае v2=vx2+vy2.
Ну а собственное скалярное значение скорости мы получим путем извлечения квадратного корня из полученного результата.
Взгляните повторно на рисунок выше.
Сам вектор и его проекции на оси формируют прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза и есть искомый вектор.
Соответственно значение вектора мы можем получить несложными математическими операциями.
В нашем случае v2=vx2+vy2.
Ну а собственное скалярное значение скорости мы получим путем извлечения квадратного корня из полученного результата.
Но мы живем не в плоскости а в 3х-мерном пространстве. Соответственно добавляется еще одна ось и проекция на нее при расчете вектора.
Логика вычислений остается той же. Гипотенуза в плоскости x,y является катетом треугольника по оси z, в котором гипотенузой является сам вектор скорости в 3х-мерном пространстве. Дальше считаем квадраты и извлекаем корень.
Можно добавить четвертое измерение. Физически в образах нам это сложно представить поскольку мы существа трехмерные, но математически в этом нет никаких сложностей, принцип расчета вектора тот же.
И не важно какую физическую сущность мы поместим в четвертую ось. Это может быть дополнителтное пространственное измерение или ось времени как в Теории относительности Эйнштейна. Главное, что математически у нас есть технология вычислений для любого n-мерного вектора.
Вот такая складывается забавная ситуация: то что мы не можем представить, мы можем рассчитать на языке математики.
Можно добавить четвертое измерение. Физически в образах нам это сложно представить поскольку мы существа трехмерные, но математически в этом нет никаких сложностей, принцип расчета вектора тот же.
И не важно какую физическую сущность мы поместим в четвертую ось. Это может быть дополнителтное пространственное измерение или ось времени как в Теории относительности Эйнштейна. Главное, что математически у нас есть технология вычислений для любого n-мерного вектора.
Вот такая складывается забавная ситуация: то что мы не можем представить, мы можем рассчитать на языке математики.
Матрица.
Итак, разобравшись с понятием вектора перейдем к следующему понятию - матрице.
Начнем с уже знакомого вектора. Ветор скорости летящего по диагонали вверх мяча.
v=(4,2).
Как вы должны помнить из ранее написанного, вектор скорости мяча представляет собой сочетание двух компонет: компонеты горизонтально смещения по оси х (4м/с) и компонеты вертикального смещения по оси у (2м/с).
А теперь представьте, что нам нужно работать сразу с несколькими векторами. Например у нас уже три летящих мяча, вместо одного.
Первый (4,2)
Второй (1,5)
Третий (2,7)
Мы можем расположить эти числа в таблице
ось х ось y
| 4 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
Такая таблица значений и есть матрица.
Для нашего случая она будет математически записываться следующим образом:
$$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$
Слева "А" это название матрицы.
Скобками обозначена сама матрица. Размером матрицы называют количество столбцов и строк в ней. В нашем примере размер матрицы 3×2.
Но зачем вообще нужны матрицы?
Это не просто способ записи, это еще и удобный иеструмент преобразования векторов.
Давайте возьмем простую матрицу - точку "х" с координатами по оси х=2, по оси y=1.
В матричном виде мы можем записать положение точки х следующим образом:
$x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
Итак, разобравшись с понятием вектора перейдем к следующему понятию - матрице.
Начнем с уже знакомого вектора. Ветор скорости летящего по диагонали вверх мяча.
v=(4,2).
Как вы должны помнить из ранее написанного, вектор скорости мяча представляет собой сочетание двух компонет: компонеты горизонтально смещения по оси х (4м/с) и компонеты вертикального смещения по оси у (2м/с).
А теперь представьте, что нам нужно работать сразу с несколькими векторами. Например у нас уже три летящих мяча, вместо одного.
Первый (4,2)
Второй (1,5)
Третий (2,7)
Мы можем расположить эти числа в таблице
ось х ось y
| 4 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
Такая таблица значений и есть матрица.
Для нашего случая она будет математически записываться следующим образом:
$$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$
Слева "А" это название матрицы.
Скобками обозначена сама матрица. Размером матрицы называют количество столбцов и строк в ней. В нашем примере размер матрицы 3×2.
Но зачем вообще нужны матрицы?
Это не просто способ записи, это еще и удобный иеструмент преобразования векторов.
Давайте возьмем простую матрицу - точку "х" с координатами по оси х=2, по оси y=1.
В матричном виде мы можем записать положение точки х следующим образом:
$x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
Допустим у нас точка сместилась.
Смещение точки мы можем оформить в виде матрицы преобразования. Допустим такой:
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Числа 2 и 3 в главной диагонали - это наши коэффициенты преобразования.
Нули вне диагонали означают, что в данном преобразовании горизонтальная и вертикальная компоненты не смешиваются.
*Небольшое примечание по терминологии. Главной диагональю в матрице называется линия элементов, у которых номер строки равен номеру столбца (i=j). Как вы понимаете, начинается главная диагональ всегда с верхнего левого элемента.
След матрицы - это сумма всех элементов главной диагонали. Обозначается как Tr или Sp.
Матрицы могут быть квадратными (где главная диагональ идет от верхнего левого угла до правого нижнего) или прямоуголными (в этом случае главная диагональ , начинаясь в левом верхнем углу, не попадает в правый нижний, а просто в каком-то месте упирается в край матрицы).
Диагональной матрицей называют матрицу, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0. В нашем примере выше мы как раз используем диагональную матрицу преобразований.
Вернемся к нашей матрице.
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Физически такое преобразование означает, что горизонтальная координата нашей точки увеличится в 2 раза, а вертикальная - в 3 раза.
Нули вне диагноли означают, что при вычислении новой горизонтальной координаты вертикальная координата на нее не влияет (ноль в верхнем правом углу). Соответственно ноль в нижнем левом углу означает, что горизонтальная координата никак не влияет на значение новой вертикальной координаты. Если бы влияние присутствовало , то оно должнотбыло бы отображаться соответствующим числом.
Сейчас мы произведем матричное вычисление новых координат точки и вы увидите как не нули участвовали бы в вычислении.
Итак, у нас есть точка х с определенными координатами и нам необходимо узнать новые координаты точки х' после преобразования.
Делается это путем перемножения вектора на матрицу.
х'=Ах
$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Каждую строку матрицы умножаем на соответствующие элементы вектора и складываем результаты.
$\small \begin{aligned} &\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Левый элемент умножается на х параметр вектора, правый - на у параметр.
Вот здесь наглядно видна возможность влияния одной координаты на другую через элементы вне главной диагонали.
Итак, после применения матрицы преобразования А мы получили из исходного вектора х с одними координатами, новых вектор х' с новыми координатами.
Смещение точки мы можем оформить в виде матрицы преобразования. Допустим такой:
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Числа 2 и 3 в главной диагонали - это наши коэффициенты преобразования.
Нули вне диагонали означают, что в данном преобразовании горизонтальная и вертикальная компоненты не смешиваются.
*Небольшое примечание по терминологии. Главной диагональю в матрице называется линия элементов, у которых номер строки равен номеру столбца (i=j). Как вы понимаете, начинается главная диагональ всегда с верхнего левого элемента.
След матрицы - это сумма всех элементов главной диагонали. Обозначается как Tr или Sp.
Матрицы могут быть квадратными (где главная диагональ идет от верхнего левого угла до правого нижнего) или прямоуголными (в этом случае главная диагональ , начинаясь в левом верхнем углу, не попадает в правый нижний, а просто в каком-то месте упирается в край матрицы).
Диагональной матрицей называют матрицу, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0. В нашем примере выше мы как раз используем диагональную матрицу преобразований.
Вернемся к нашей матрице.
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Физически такое преобразование означает, что горизонтальная координата нашей точки увеличится в 2 раза, а вертикальная - в 3 раза.
Нули вне диагноли означают, что при вычислении новой горизонтальной координаты вертикальная координата на нее не влияет (ноль в верхнем правом углу). Соответственно ноль в нижнем левом углу означает, что горизонтальная координата никак не влияет на значение новой вертикальной координаты. Если бы влияние присутствовало , то оно должнотбыло бы отображаться соответствующим числом.
Сейчас мы произведем матричное вычисление новых координат точки и вы увидите как не нули участвовали бы в вычислении.
Итак, у нас есть точка х с определенными координатами и нам необходимо узнать новые координаты точки х' после преобразования.
Делается это путем перемножения вектора на матрицу.
х'=Ах
$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Каждую строку матрицы умножаем на соответствующие элементы вектора и складываем результаты.
$\small \begin{aligned} &\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Левый элемент умножается на х параметр вектора, правый - на у параметр.
Вот здесь наглядно видна возможность влияния одной координаты на другую через элементы вне главной диагонали.
Итак, после применения матрицы преобразования А мы получили из исходного вектора х с одними координатами, новых вектор х' с новыми координатами.
Вы можете задать вопрос: а зачем так сложно считать, если можно добавить смещение к координатам и получить тот же результат? И будете правы. Для таких простых исчислений матрицы могут быть излишни.
Но мы испрльзовали стольпростой пример для понимания сути того, чем являются матрицы и сути матричных исчислений.
Чем более сложные физические процессы мы описываем, тем более привлекательными становятся матрицы и приходит понимание, что они введены не для усложнения, а именно для упрощения вычислений.
Но мы испрльзовали стольпростой пример для понимания сути того, чем являются матрицы и сути матричных исчислений.
Чем более сложные физические процессы мы описываем, тем более привлекательными становятся матрицы и приходит понимание, что они введены не для усложнения, а именно для упрощения вычислений.
Рассмотрим тот же летящий мяч. Мы знаем его начальные координты и скорость. При простом поступательном движении мы имеем те же расчеты, что и с точкой в примере выше.
Начальные координаты мяча пусть будут х=(2,1). А скорость пусть будет v=(3,2).
Мяч летит, с постоянной скоростью смещаясь за 1 сек на 3 по горизонтали и 2 по вертикали.
Тогда новые его координаты легко вычислить и без матриц.
2+3=5
2+2=4
Новые хоординаты мяча через секунду будут x'=(5,4).
А теперь давайте усложним физическую модель. Допустим что мяч находится под действием какой-то силы. И добавим , что направление действия силы меняется в зависимости от направления движения мяча.
Пусть у нас горизонтальная компонента силы зависит от вертикалтного смещения мяча, а вертикальная компонента силы - от горизонталтного смещения мяча.
В итоге у нас довольно-таки сложная система взаимодействий. Можно, конечно, это все свести к системе уравнений, но здесь уже проще применить матричный метод, когда мы одной операцией охватим сразу всю систему сложных взаимодействий.
Пусть у нас сила воздействует таким образом, что вертикальное ускорение будет равно горизонталтной скорости, а горизонтальное ускорение будет обратно вертикальной скорости.
Введем обозначения: через х и y будем обозначать принадлежность к горизонтальной и вертикальной оси.
Тогда у нас наше условие выглядит следующим образом:
ax=vy
ay=-vx
Давайте запишем это условие в виде мартицы преобразований.
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
Допустим у нас начальная скорость мяча vx=1, vy=0. Мяч летит строго по горизонтали.
$$v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Давайте начнем считать.
$$a = Av \implies \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$\small \begin{aligned} &\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Мы получили ускорение вниз по вертикали. И отсутствие ускорения по горизонтали.
Давайте теперь расчитаем новую скорость.
v1=v0+at
Давайте посмотрим , что будет со скоростью мяча через промежуток времени t=0,1.
$$\small \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot 0.1$$
Решаем
$$\small \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0.1 \\ -0.1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -0.1 \end{pmatrix}$$
Вот мы получили значение того как изменилась скорость за время t под действием ускорения.
Давпйте посмотрим , что будет с мячом дальше. Вы помните, что действие силы (соответственно ускорения) в нашем примере не постоянно, а завимит от скорости мяча в горизонтальной и вертикальной проекциях.
Для дальнейших расчетов нам немнужно ничего , кроме все той же матрицы для преобразования ускорения.
Новое значение ускорения с учетом новой скорости:
$$\small a_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.1 \end{pmatrix}$$
Решаем.
$$\scriptsize a_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0.1 \\ -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Теперь давайте найдем новую скорость. Правила все те же.
v2=v1+a1t
$\small \begin{aligned} v_2 = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}_2 &= \begin{pmatrix} 1 \\ -0.1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot 0.1 \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ -0.1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.01 \\ -0.1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0.99 \\ -0.2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Проекция новой скорости по горизонтали vx=0,99, по вертикали vy=-0,2.
Мы использовали одну и ту же матрицу на каждом шаге:
- Подставили текущую скорость в матрицу.
- Получили ускорение.
- По ускорению вычислили новую скорость.
- Повторили расчёт уже с новой скоростью.
Матрица не просто хранит числа: она задаёт единое правило, которое мы многократно применяем для расчёта эволюции системы.
Начальные координаты мяча пусть будут х=(2,1). А скорость пусть будет v=(3,2).
Мяч летит, с постоянной скоростью смещаясь за 1 сек на 3 по горизонтали и 2 по вертикали.
Тогда новые его координаты легко вычислить и без матриц.
2+3=5
2+2=4
Новые хоординаты мяча через секунду будут x'=(5,4).
А теперь давайте усложним физическую модель. Допустим что мяч находится под действием какой-то силы. И добавим , что направление действия силы меняется в зависимости от направления движения мяча.
Пусть у нас горизонтальная компонента силы зависит от вертикалтного смещения мяча, а вертикальная компонента силы - от горизонталтного смещения мяча.
В итоге у нас довольно-таки сложная система взаимодействий. Можно, конечно, это все свести к системе уравнений, но здесь уже проще применить матричный метод, когда мы одной операцией охватим сразу всю систему сложных взаимодействий.
Пусть у нас сила воздействует таким образом, что вертикальное ускорение будет равно горизонталтной скорости, а горизонтальное ускорение будет обратно вертикальной скорости.
Введем обозначения: через х и y будем обозначать принадлежность к горизонтальной и вертикальной оси.
Тогда у нас наше условие выглядит следующим образом:
ax=vy
ay=-vx
Давайте запишем это условие в виде мартицы преобразований.
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
Допустим у нас начальная скорость мяча vx=1, vy=0. Мяч летит строго по горизонтали.
$$v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Давайте начнем считать.
$$a = Av \implies \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$\small \begin{aligned} &\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Мы получили ускорение вниз по вертикали. И отсутствие ускорения по горизонтали.
Давайте теперь расчитаем новую скорость.
v1=v0+at
Давайте посмотрим , что будет со скоростью мяча через промежуток времени t=0,1.
$$\small \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot 0.1$$
Решаем
$$\small \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0.1 \\ -0.1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -0.1 \end{pmatrix}$$
Вот мы получили значение того как изменилась скорость за время t под действием ускорения.
Давпйте посмотрим , что будет с мячом дальше. Вы помните, что действие силы (соответственно ускорения) в нашем примере не постоянно, а завимит от скорости мяча в горизонтальной и вертикальной проекциях.
Для дальнейших расчетов нам немнужно ничего , кроме все той же матрицы для преобразования ускорения.
Новое значение ускорения с учетом новой скорости:
$$\small a_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.1 \end{pmatrix}$$
Решаем.
$$\scriptsize a_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0.1 \\ -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Теперь давайте найдем новую скорость. Правила все те же.
v2=v1+a1t
$\small \begin{aligned} v_2 = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}_2 &= \begin{pmatrix} 1 \\ -0.1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot 0.1 \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ -0.1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.01 \\ -0.1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0.99 \\ -0.2 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Проекция новой скорости по горизонтали vx=0,99, по вертикали vy=-0,2.
Мы использовали одну и ту же матрицу на каждом шаге:
- Подставили текущую скорость в матрицу.
- Получили ускорение.
- По ускорению вычислили новую скорость.
- Повторили расчёт уже с новой скоростью.
Матрица не просто хранит числа: она задаёт единое правило, которое мы многократно применяем для расчёта эволюции системы.
