Главная идея Макса Планка заключалась в том, чтобы отказаться от произвольных единиц измерения и определить единицы измерения через фундаментальные константы Вселенной.

Килограммы, метры , секунды - это все произвольные величины придуманные людьми и зависят от культурного контекста.
На Ближнем Востоке веса измеряли в талантах. В древней Греции - в фунтах, в России - в пудах.
Время в средневековой Англии измеряли в моментах (1 момент=1,5 современных минуты).
С длинами та же ситуация: римские мили, персидские парасанги, русские локти.

Если же определить меры через фундаментальные константы, то любые разумные существа в любом уголке Вселенной могли бы понять их.
Это единицы измерения, заложенные в самой структуре Вселенной.

Итак, какие фундаментальные константы были известны, когда Планк загорелся этой идеей?

Скорость света.
Скорость перемещения фотонов в вакууме одинакова для любых инерциальных систем. Стоите ли вы на месте, бежите ли в ту же сторону, что летит свет или же бежите в противоположную, неважно что вы делаете, в любом случае один и тот же луч света удаляется от вас и от любых других объектов с одинаковой скоростью. В обычных единицах измерения это 299 792 458 метров в секунду. Обозначается скорость света буквой «с».

Гравитационая постоянная.
Это, говоря простым языком, сила взаимного притяжения между массивными объектами. Обозначается буквой "G" В обычных единицах измерения это
6,67 430×10^-11 м³/(кг•с²)

Ну и третья фундаментальная величина — это постоянная Планка.
Её называют квантом действия. В отдельной статье я подробно остановлюсь на этой величине. А пока обозначим в первом приближении, что это коэффициент пропорциональности частоты электромагнитной волны и ее энергии. Обозначается буквой "h". В обычных единицах измерения она равна
6,626 070 040×10^-34 Дж•сек.

Чаще используется понятие приведенной постоянной Планка, это постоянная, деленная на 2π (h/2π). Обозначается как ℏ. Почему так, объясню в статье посвященной этой величине. Если кратко, то это просто удобней с точки зрения математики.

Итак, опираясь только на имеющиеся три Вселенских константы, Макс Планк приступил к определению меры длины, времени и массы через них.

Это вставка для тех, кому интересно как вообще длину, время или массу можно определить через коэффициент отношения частоты волны и энергии, гравитацию и скорость. Заодно поймете как вообще образуются формулы в физике.
Если не интересно, просто промотайте.

Итак, каков общий принцип?

Вот у нас есть три вида диких размерностей (джоули на секунды, метры кубические на килограммы на секунды в квадрате и т.д.) Нам надо перевести их в интересующие нас размерности.

Все начинается с переопределения размерности самих констант.

Скорость света.
Скорость - это расстояние деленное на время. Расстояние это L, время это Т. Скорость это L/T или в другой математической форме записи L×T^-1
Итак, размерность скорости света: c=LT^-1

Теперь берем постоянную Планка (у нее и у приведенной постоянной одна и та же размерность).
Формула связи энергии (E) с частотой волны (\(\mathit{\nu}\))
\(E = h \cdot \nu\)
\(h = \frac{E}{\nu}\)

частота волны (\(\mathit{\nu}\)) это количество колебаний (безразмерная величина, просто число) в секунду, соответcтвенно ее размерность Т^-1

Теперь энергия (Е). Она измеряется в Джоулях. Нужно привести Джоули к чему-то более адекватному.
В классической механике энергия эквивалентна понятию работы (А). Что такое работа? Это сила (F) умноженная на расстояние.
С размерностью расстояние понятно - это L.
Давайте разбираться с силой (F).
Вспоминается фильм "Брат" и его философский вопрос: "А в чем сила, брат?"

В физике сила (F) измеряется в Ньютонах и рассчитывается как масса (m) умноженная на ускорение (а): F=ma
Спускаемся теперь на эту ступеньку.
Что такое ускорение? Это скорость поделенная на время:
а=v/t.

Скорость у нас уже была, когда определяли размерность скорости света. Вспоминаем, скорость - это расстояние деленное на время.
Соответственно размерность скорости:
v=L/T

тогда размерность ускорения
а=L/T²

тогда размерность силы
F=M×L/T²
ну а в школьных учебниках просто пишут:
1 Ньютон = 1 кг×м/с²

Но вернемся к энергии и Джоулям.
Как мы уже обозначили энергия эквивалентна работе и 1Дж=1Н•м (сила на расстояние)

Подставляем размерности:
Сила (M×L/T²) умножить на расстояние (L), получаем приведенные размерности энергии:
Е=ML²T^-2

Ну вот, можем вернуться к тому с чего стартовали, - размерности постоянной Планка (Дж•сек). Подставляем полученные размерности:
h=ML²T^-2×Т=ML²T^-1

Итак с размерностями двух констант (скорости света и постоянной Планка) разобрались.

Осталась третья - гравитационная постоянная (G).

Поехали. Закон всемирного тяготения:
\(F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\)

Тогда
\(G = \frac{F \cdot r^2}{m_1 m_2}\)

Подставим размерности.
С массами все понятно, их в формуле две значит размерность М²
С раcстоянием тоже ясно: L²
Ну а размерность силы (F) мы тоже выводили, когда возились с постоянной Планка. Смотрим ее размерность выше: M×L/T²=MLT^-2

Подставляем размерности в формулу:
G=(MLT^-2)×L²/М²=
=MLT^-2L²М^-2=
=М^-1L³T^-2

Вот мы и получили фундаментальные Вселенские константы, выраженные в единицах длины, массы и времени.

c=LT^-1
h=ML²T^-1
G=М^-1L³T^-2

Теперь осталось придумать такое сочетание этих констант в формулах, чтобы все лишние размерности сокращались и оставалась только одна: либо масса, либо длина, либо время.

Поехали.

Планковская длина.
\(\ell_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\)

Проверяем размерности по шагам.

Перемножим h и G:
h×G -> (ML²T^-1) × (М^-1L³T^-2)=L⁵T^-3

Как видите масса уже сократилась. Осталось избавиться от времени.
Если возвести скорость света в третью степень и поставить ее в знаменатель, время тоже уйдет.

L⁵T^-3/L³T^-3=L²
осталась одна длина, но в квадрате.

Значит заведем все выражение под корень и получим просто длину, выраженную через фундаментальные константы.
\(\ell_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\)

Что ж, надеюсь вам стал понятен сам принцип, лежащий в основе определения Планковских величин.

По такому же принципу были определены Планковское время
\(t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}\)

и Планковская масса
\(m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}\)

При определении Планковских величин, не стояла задача найти минимально возможный размер длины или времени (как некоторые говорят - квант пространства и времени). Это был просто математический трюк определения величин через имеющиеся Вселенские константы.

Однако это математическое развлечение привело к неожиданным результатам.

Возьмем к примеру Планковскую длину. Если подставить вместо значков численные значения констант, мы получим очень маленький отрезок.

1,6×10^-35 метра.

Чтобы вам было понятно насколько это мало представьте, что вы увеличили атом водорода до размера футбольного мяча. Тогда сам футбольный мяч будет в 38 раз больше нашей планеты Земля.

Представили насколько мал атом водорода?

А теперь представьте, что Планковский отрезок длины увеличить до размера реального микроскопического атома водорода. Тогда атом водорода станет в 70 раз больше всей нашей Солнечной системы, а футбольный мяч станет в 1,5 раза большей всей нашей галактики.

Да, планковская длина это очень очень мало.

Но оказалось , что не просто очень мало, а предельно мало.
Некоторые говорят, что Планковская длина -это пиксель самого пространства.
На самом деле в физике нет таких утверждений, и возможно что существуют размеры меньше Планковских. Мы не знаем. И главная фундаментальная суть в том, что пока и не можем узнать.

Как измерить что-то маленькое? Маленькой линейкой. И чем меньше объект, тем меньше должна быть линейка. В мире частиц измерения можно проводить только уже самими частицами. Например фотоном.
И чем меньше прощупываемый размер, тем меньшей длины волны нужен фотон. Он должен быть соразмерен измеряемому объекту.
Но чем меньше длина волны, тем больше ее частота, а значит тем больше её энергия.
И если мы теоретически укоротим длину волны до планковского маштаба, то его энергия будет огромной (что знаменательно, уровень такой энергии фотона достигнет маштабов Планковской энергии).
И согласно расчетов Общей теории относительности такая энергия в столь малом объеме сразу же создаст черную дыру, причем размер этой черной дыры будет в два раза больше Планковской длины.

Получается, что сами законы природы не позволяют заглянуть в такой масштаб. Даже если бы мы смогли создать столь малый и столь высокоэнергетичный зонд для зондирования пространства на планковском маштабе, то сам зонд сформировал бы черную дыру вокруг себя в два раза превышающую размер Планковской длины и мы все равно ничего бы не прозондировали.

Мы к сожалению не можем даже теоретически предположить, что там. Для этого нужна квантовая теория гравитации. А ее мы никак сформировать пока не можем.

Так что Планковскую длину нельзя с уверенностью назвать минимальным маштабом пространства, но с уверенностью можно сказать, что это пока непреодолимая граница познания масштабов пространства.

Но ведь какие-то предположения у физиков существуют?

Конечно существуют.

Квантовая пена.
Суть предположения в том, что на планковских масштабах пространство утрачивает свою гладкость и стабильную геометрию. Непрерывно образуются микроскопические черные дыры и кротовые норы, пространство образно говоря "непрерывно кипит" и его геометрия постоянно меняется.

Эмерджентность пространства.
Согласно этой гипотезы пространство и время эмерджентны, то есть возникающие, не фундаментальны. Подобно температуре.
Температура кажется неотъемлимым свойством макромира. Однако на уровне частиц уже никакой температуры не существует. Не то чтобы она равнялась нулю, такого свойства вообще нет.
То , что мы воспринимаем как температуру, является мерой кинетической энергии (проще говоря скорости) частиц. Чем быстрее движутся частицы, из которых состоит тело, тем выше нам кажется температура этого тела.

Но если разделить тело на отдельные частицы, температура просто исчезнет, останутся только отдельные частицы имеющие характеристики кинетической энергии, скорости , массы, импульса и т.д. , но не имеющие свойства температуры. Температура - это эмерджентное (возникающее) свойство , возникающее как следствие взаимодействия множества частиц.

Похожими свойствами возможно обладают пространство и время. Они возникают как коллективное следствие квантовых взаимодействий. В частности расстояния между областями фундаментально определяются не геометрией, а степенью их квантовой запутанности. И на плановском маштабе еще нельзя говорить о возникновении пространства, есть только квантовые взаимодействия из которых и складывается пространство на больших масштабах.

Причинные множества.
Это теория близкая по духу к предыдущей. Согласно ей есть только причинно связанные состояния. А множество причинных связей в итоге складываются в то, что мы воспринимаем как пространство. Планковские масштабы таковы, что там есть только некоторое количество событий и причинных связей, но их недостаточно, чтобы они могли сложиться в то, что мы считаем пространством.

Некомутативная геометрия.
Еще одна близкая теория, гласящая, что на Планковских масштабах координаты перестают быть геометрическими понятиями и становятся квантовыми. Соответственно координаты на таких масштабах не могут описываться в пространственных геометрических понятиях, а должны описываться через язык квантовых операторов и взаимодействий

Теория безопасной гравитации.
Заключается в том, что мы просто не до конца понимаем суть гравитации. Нужно научиться правильно квантовать гравитацию и возможно на уровне высоких энергий взаимодействия перестают расти и выходят на какие-то конечные значения, и соответственно не образуются математические бесконечности и наша физика продолжит работать на масштабах меньше Планковских. Осталось только найти ту границу энергий, на которой прекращается рост.

Квантовая петлевая гравитация.
Эта теория ближе всего к пиксельной идее пространства, популярной в соц. сетях. Пространство квантовано, имеет минимальный масштаб - квант объема и квант площади. Меньше ничего нет, они неделимы и образуют ту сеть, из которой складывается привычное нам пространство.

Теория струн.
На мельчайших масштабах материя состоит из одномерных струн, разные вибрации которых, соответствуют различным частицам в нашей трехмерной Вселенной. Масштаб длин этих струн соразмерен с маштабами Планковской длины. И хотя возможно существуют пространственные единицы меньше Планковских, они недостижимы из-за того, что любое воздействие на таких масштабах возбуждает струны, заставляя их вибрировать и тем самым закрывать возможность проникновения в меньшие масштабы пространства.

Голографический принцип.
Возникший в качестве решения некоторых проблем существования черных дыр, гласит, что вся информация, существующая в некотором объеме , помещается на наружной поверхности этого объема. Тогда все наше трехмерное пространство может быть просто проекцией какой-то иной более фундаментальной физики. И планковская длина в этой концепции является минимальным фундаментальным маштабом хранения информации на границе определяемой трехмерной области.

Плановское время.
Время и пространство тесно переплетены в физике вплодь до отождествления их как параметров единой пространственно-временной метрики в Теории отностительности.
Касательно Планковских масштабов, то физически Планковскую длину можно описать как расстояние, которое преодолевает свет за Планковское время. А Планковское время -это соответственно промежуток времени, необходимый свету для преодоления Планковской длины.

Так что предположения касательно Планковско времени схожи с вышеописаными предположениями относительно Планковского пространства.

То ли время квантовано и его квантовость определяется Планковскими масштабами, то ли время непрерывно математически, но промежутки времени меньше Планковских теряют всяческую физическую осмысленность с точки зрения описания последовательностей, т.е. масштаб Планкоского времени , это масштаб на котором теряют свой физический смысл понятия "до" и "после", сходясь в точку. То ли время как и пространство эмерджентно и возникает как следствие квантовой запутанности и на фундаментальном уровне времени просто не существует как и пространства.

Планковская энергия.
Это другой полюс Планковских масштабов. Получившееся значение Планковской энергии чудовищно огромно - 1,22×10¹⁹ГэВ.
На макромасштабе это не так уж много, хватит пару месяцев обеспечивать электричеством среднюю квартиру. Но на квантовом уровне это немыслемо огромная энергия. Если такую энергию сосредоточить в маштабе Планковской длины, то она неизбежно по Теории относительности настолько искривит пространственно-временную метрику, что образует вокруг себя горизонт событий и сформирует черную дыру.
Чтобы вы понимали масштаб: пределы энергий , достижимые на нашем Большом адронном коллайдере в 870 триллионов раз меньше Планковской энергии.
Ключевая особенность Планковской энергии в том, что на таком маштабе гравитационные эффекты от энергии становятся сопоставимы стандартным квантовым и не возможно строить физику без учета квантовой гравитации, которой у нас пока нет.

Планковская масса.
В то время как Планковские длина и время чрезвычайно малы, Планковская масса, подобно энергии чудовищно велика для маштабов частиц. Она составляет примерно 22 микрограмма, что соответствует массе песчинки ( это в 10¹⁹ больше массы протона)
И подобно Планковской энергии, Планковская масса является той границей, где встречаются квантовые эффекты и гравитационные.

У частиц есть такой параметр как Комптоновская длина волны, он определяет предел локализации частицы.
В то же время для массивных объектов есть такой параметр как радиус Шварцшильда, который определяет размер горизонта событий для Черной дыры.
Так вот, для обычных частиц Комптоновская длина волны огромна, а радиус Шварцшильда чрезвычайно мал. Но по мере увеличения массы Комптоновская длина волны сокращается , а радиус Шварцшильда увеличивается и на маштабе Планковской массы они становятся примерно одного порядка.
Можно сказать, что Планковская масса как и Планковская энергия (а масса и энергия тесно переплетены Е=mc², также как тесно переплетены пространство и время) являются границей схождения двух разных физик. На меньших масштабах доминирует квантовая физика, а гравитацией можно пренебречь, на больших масштабах доминирует Теория относительности и квантовыми эфектами можно пренебречь. А вот на Планковских масштабах массы и энергии квантовые эффекты и гравитация сопоставимо значимы и требуется новая физика, которая могла бы описывать системы с учетом квантовых и гравитационных эффектов. Но, повторюсь, теории квантовой гравитации пока у нас нет и поэтому мы просто не можем достоверно описывать мир Планковских маштабов энергий и масс.

Кстати, такой пограничный объект , являющийся одновременно и квантовой частицей и черной дырой, - это один из гипотетических претендентов на звание темной материи.

Но все это лишь гипотезы и предположения, строгих согласованных теоретический моделей пока нет. Да и технических возможностей для экспериментальных проверок имеющихся гипотез тоже пока нет.

Так что о Планковских масштабах с уверенностью можно сказать только одно - это пока наши границы познания. Имеющиеся физические теории (квантовая физика и теория относительности) перестают быть самосогласованными, а новой физики, которая сможет интегрировать квантовую физику и гравитацию, пока нет.